Phép Chuyển Cơ Sở – Wikipedia Tiếng Việt

Bạn đang tìm hiểu về trình bày cách xây dựng ma trận chuyển cơ sở. Dưới đây là những nội dung hay nhất do nhóm thcsngogiatu.edu.vn tổng hợp và biên soạn, xem thêm ở chuyên mục Hỏi Đáp.

Công thức chuyển cơ sở[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Với mỗi j = 1, …, n, chúng ta có thể xác định bất kỳ vectơ wj nào bằng tọa độ của nó đối với cơ sở

là ma trận mà cột thứ j là vectơ tọa độ của wj. (Từ đây trở đi, chỉ số i luôn đề cập đến các hàng của A và các vectơ, và chỉ số j đề cập đến các cột của A và quy ước này là để tránh nhầm lẫn trong các tính toán rõ ràng.)

Giả sử chúng ta là cơ sở của V khi và chỉ khi ma trận A khả nghịch, hoặc tương tự, nó có định thức khác 0. Trong trường hợp này, A được gọi là ma trận chuyển cơ sở, từ cơ sở. cơ sở đến cơ sở.

Cho trước một vectơ, chúng ta có tọa độ của nó so với , và tọa độ của nó so với ; nghĩa là:

(Chúng ta có thể chọn biến chỉ số để tính tổng giống nhau trong cả hai tổng, nhưng chọn hai biến chỉ số phân biệt: i cho cơ sở cũ và j cho cơ sở mới, để làm cho các công thức suy luận rõ ràng hơn và để tránh nhầm lẫn trong chứng minh và tính toán.)

ở đâu và là các ma trận cột bao gồm các tọa độ của z trong các cơ sở tương ứng và

Bởi vì công thức chuyển cơ sở là kết quả của một phân tích đơn lẻ của một véc tơ trên một cơ sở.

Phép biến đổi cơ sở cũng là một phép biến đổi tuyến tính, được biểu diễn bằng ma trận phép biến đổi cơ sở.

Ví dụ[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Xét một không gian vectơ Euclide Cơ sở chính tắc của không gian này bao gồm hai vectơ và Nếu quay hai vectơ này một góc t, ta có một cơ sở mới gồm các vectơ và

Công thức chuyển cơ sở nói rằng, nếu tọa độ mới của một vectơ, chúng ta có

Biến đổi tuyến tính[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Xét phép biến hình tuyến tính T: W → V từ không gian vectơ W chiều n sang không gian vectơ V chiều m. Ma trận biểu diễn phép biến đổi này đối với cơ sở “cũ” của V và W là ma trận M kích thước m × n. Phép biến đổi cơ sở trong không gian V được xác định bởi ma trận biến đổi cơ sở P kích thước m × m, và trong không gian W, ma trận biến đổi cơ sở Q kích thước n × n.

Tự biến hình[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Phép đẳng cấu tuyến tính là phép biến hình tuyến tính từ không gian vectơ V về chính nó. Đối với các phép biến đổi cơ số có tự đồng vị vẫn áp dụng công thức ở phần trước nhưng trong trường hợp này ma trận chuyển cơ sở vẫn như cũ. Nghĩa là, nếu M là ma trận vuông biểu diễn phép tự đồng cấu trên V đối với cơ sở “cũ” và P là ma trận chuyển cơ sở, thì ma trận của phép tự đồng cấu đối với cơ sở “mới” ” là

Vì bất kỳ ma trận khả nghịch nào cũng có thể được sử dụng làm ma trận chuyển cơ sở, nên từ đó hai ma trận là giống nhau khi và chỉ khi chúng biểu diễn cùng một tự động đối với hai cơ sở khác nhau. .

Dạng song tuyến tính[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Một dạng song tuyến tính trên không gian vectơ V trên trường F là một hàm V × V → F tuyến tính cho cả hai đối số. Nghĩa là, B : V × V → F là song tuyến tính nếu các ánh xạ và là tuyến tính được giữ cố định.

Ma trận B của dạng song tuyến tính B trên cơ sở (được gọi là cơ sở “cũ”) là một ma trận trong đó các phần tử ở hàng i và cột j là B(i, j). Điều này ngụ ý rằng nếu v và w là ma trận cột bao gồm tọa độ của hai vectơ v và w, chúng ta có

Nếu P là ma trận chuyển cơ sở, thì ma trận dạng song tuyến tính đối với cơ sở mới là

Một dạng song tuyến tính đối xứng là một dạng song tuyến tính B sao cho với mọi vectơ v và w thuộc V ta có ma trận của B là ma trận đối xứng với mọi cơ sở. Từ đó có thể suy ra rằng tính chất đối xứng của ma trận phải được bảo toàn bằng phép biến đổi cơ sở. Chúng ta có thể tính toán để xác minh điều này, hãy nhớ rằng phép đổi vị của tích ma trận bằng với tích của các phép dời theo thứ tự ngược lại, cụ thể là:

Nếu đặc trưng của trường nền F không phải là 2 thì với mỗi dạng song tuyến tính đối xứng tồn tại một cơ sở mà ma trận của nó là một đường chéo. Hơn nữa, các phần tử khác 0 trên đường chéo được xác định bằng phép nhân với ma trận vuông. Vì vậy, nếu trường nền là trường số thực, các phần tử khác 0 này có thể được chọn là 1 hoặc -1. Định lý quán tính của Sylvester phát biểu rằng số lượng các số 1 và -1 chỉ phụ thuộc vào dạng song tuyến tính chứ không phụ thuộc vào phép chuyển cơ sở.

Các dạng song tuyến tính đối xứng trên các số thực rất phổ biến trong hình học và vật lý, đặc biệt là trong nghiên cứu về mặt bậc hai và mặt quán tính của vật rắn. Trong những trường hợp này, sẽ rất hữu ích khi sử dụng cơ sở trực giao; Điều này có nghĩa là chúng ta thường muốn giới hạn hiệu suất của các phép biến đổi cơ sở mà các ma trận chuyển cơ sở là trực giao, tức là các ma trận sao cho các ma trận đó có tính chất cơ bản là các công thức biến đổi cơ sở. tương tự đối với dạng song tuyến tính đối xứng và tự đẳng cấu được biểu diễn bởi cùng một ma trận đối xứng. Định lý phổ phát biểu rằng, đối với một ma trận đối xứng như vậy, tồn tại một phép biến đổi cơ sở trực giao sao cho ma trận kết quả (có dạng song tuyến tính và tự đồng cấu) là một ma trận chéo với các giá trị riêng của ma trận ban đầu nằm trên đường chéo. Một hệ quả là trên trường số thực, nếu ma trận của một phép đồng cấu là đối xứng thì nó chéo hóa được.

Nhận xét[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

^ Mặc dù cơ sở nguyên tố là một tập hợp các vectơ, ký hiệu là một bộ sẽ thuận tiện hơn ở đây, bởi vì việc gán các chỉ số cho các số nguyên dương đầu tiên làm cho cơ sở trở thành một cơ sở hợp lệ. gọi món.

Ôn các động tác bổ trợ: ôn các kỹ

Sách tham khảo[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (ấn bản thứ 5), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Khóa học đầu tiên về Đại số tuyến tính: với Giới thiệu tùy chọn về Nhóm, Vành và Trường, Boston: Công ty Houghton Mifflin, ISBN 0-395-14017-X
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd edition), New York: Wiley, LCCN 76091646

Liên kết bên ngoài[sửa | chỉnh sửa mã nguồn]

Bài giảng Đại số tuyến tính MIT về Thay đổi cơ sở, từ MIT OpenCourseWare
Khan Academy Bài giảng về thay đổi cơ sở, từ Khan Academy

Ma trận chuyển cơ sở

Kết hợp tuyến tính

Cho một tập hợp \(n\) vectơ \(S=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}\) trong không gian vectơ \(V\). Tổ hợp tuyến tính của vectơ \(n\) này là một vectơ có dạng \(c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n\) trong đó \(c_i\) là các hằng số thực. Tập hợp \(W\) bao gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính được gọi là một khoảng tuyến tính của họ \(S\), được ký hiệu là \(\mathrm{span}(S)\). Bản thân đường bao tuyến tính là một không gian vectơ và nó là một không gian con của \(V\).

Độc lập tuyến tính (hay còn gọi là Độc lập tuyến tính) là một tính năng mô tả các họ vectơ \(S=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}\) có thuộc tính sau:

Giả sử chúng ta xây dựng một ma trận \(A\) với mỗi cột là tọa độ của các vectơ trong \(S\), đồng thời \(V\) là một không gian \(n\) chiều (tức là \(A \) ) là một ma trận vuông), thì phương trình \(c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n=0\) có thể được viết dưới dạng một hệ phương trình thuần nhất. Bây giờ để hệ thống có một nghiệm duy nhất, \(\mathrm{det}(A)\neq 0\). Đây cũng là điều kiện cần và đủ để \(S\) là một họ độc lập tuyến tính.

Nói một cách đại khái, độc lập tuyến tính (từ trái nghĩa: phụ thuộc tuyến tính) có nghĩa là không tồn tại bất kỳ \(v_i\) nào có thể được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính từ \(n-1\) ) vectơ còn lại. Định nghĩa toán học thực sự sẽ phức tạp và khó hình dung hơn biểu thức này.

\(n\) chiều không gian

Trong không gian vectơ \(V\), nếu có \(n\) vectơ độc lập tuyến tính và không nhiều hơn \(n\) vectơ độc lập tuyến tính thì \(V\) được định nghĩa là không gian \(n\) buổi chiều.

Nền tảng

Một họ các vectơ \(n\) \(S=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}\) độc lập tuyến tính trong không gian \(n\) chiều \(V\) được gọi là một cơ sở (cơ sở , căn số nhiều). Nếu \(S\) là cơ sở của \(V\) và ta có \(u\in V\), \(u = c_1v_1 + \dots + c_nv_n\) thì \((c_1, \dots, c_n) \) được gọi là tọa độ của \(u\) dưới cơ sở \(S\).

Trong không gian vectơ \(n\) chiều, cơ sở \(S=\{v_1, v_2,\dots,v_n\}\) được gọi là cơ sở chuẩn nếu \(v_i\) là cơ sở chuẩn. vectơ có thành phần thứ \(i\) bằng 1 và các thành phần khác bằng 0 (có dạng \(v_i = (0\ 0\ \dots\ 0\ 1\ 0\ 0\dots\ 0)\) ) . Thông thường, nếu không chỉ rõ cơ sở của khoảng trống, chúng ta thường ngầm hiểu và sử dụng cơ sở chính tắc cho tiện.

\(S\) độc lập tuyến tính \(\Leftrightarrow\) \(S\) là cơ sở của \(\mathrm{span}(S)\).
\(S\) là cơ sở của \(V \Leftrightarrow\) mọi vectơ trong \(V\) luôn có tổ hợp tuyến tính của \(S\).

Chúng tôi biểu diễn \(S=\{v_1,v_2,\dots, v_n\}\) dưới dạng ma trận \(M\) gồm \(n\) cột (\(M\) có thể không vuông), mỗi cột là tọa độ của vectơ đối với một số cơ sở \(B\). Hạng của họ vectơ \(S\) được định nghĩa là hạng của \(M\). Sau đó:

Đặt \(M^*\) là dạng cấp bậc của \(M\) trong đó \(\{j_1, \dots, j_n\}\) là các cột trục, sau đó \(\{v_{j_1}, \dots, v_{j_n}\}\) là cơ sở của \(\mathrm{span}(S)\).

Bổ đề Steinitz: Nếu chúng ta có \(S = \{v_1, v_2,\dots,v_r\}\) là họ các vectơ độc lập tuyến tính trong \(n\) không gian chiều \(V\) (\( r < n \)) thì chúng ta có thể thêm một vectơ \(n-r\) khác để tạo cơ sở của \(V\).

Vô hướng

Trong hình học Euclide \(\mathbb{R}^n\), chúng ta đã biết khái niệm tích vô hướng của hai vectơ \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) và \(y=( y_1 ,y_2,\dots,y_n)\) như sau:

Tuy nhiên, trong bất kỳ không gian vectơ nào, tích vô hướng có thể có các định nghĩa khác nhau. Dưới đây là 5 tiên đề để một phép tính được công nhận là tích vô hướng:

\(\langle a,b\rangle\) là một số xác định cho mọi vectơ \(a,b\)
\(\langle a,b\rangle = \langle b,a\rangle\)
\(\langle a+b,c\rangle = \langle a,c\rangle + \langle b,c\rangle\)
\(\langle ka,b\rangle = k\langle a,b\rangle\) trong đó \(k\) là một số
\(\langle a,a\rangle \geq 0\) và \(\langle a,a\rangle=0 \Leftrightarrow a=\overrightarrow{0}\)

Một ví dụ khác: Chúng ta đã biết rằng tập hợp tất cả các hàm liên tục trên \([a,b]\) là một không gian vectơ. Sản phẩm chấm của không gian này có thể được xác định như sau:

Không gian vectơ \(n\) chiều có tích vô hướng được gọi là không gian Euclide.

độ dài của véc tơ

Độ dài của vectơ \(v\) được ký hiệu là \(\vert v\vert\), bằng căn bậc hai của tích vô hướng của \(v\) và chính nó, tức là \(\sqrt{\langle v , v\rangle}\)

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho thấy:

\(\vert v\vert \geq 0\)
\(\vert v\vert =0 \Leftrightarrow v=\overrightarrow{0}\)
\(\vert kv\vert = \vert k\vert \vert v\vert\)
\(\vert u+v\vert \leq \vert u\vert + \vert v\vert\)

Lập bàn thờ vong cần đặc biệt chú ý những điều này

trực giao

Hai vectơ trực giao với nhau (còn gọi là trực giao) khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Một họ các vectơ trong đó các vectơ đôi một trực giao với nhau được gọi là một tập hợp trực giao. Hơn nữa, nếu tất cả các vectơ trong họ có độ dài bằng 1 thì họ được gọi là trực giao.

Nếu một không gian \(n\) chiều dựa trên một họ trực chuẩn \(S=\{v_1, v_2,\dots,v_n\}\) thì bất kỳ vectơ \(u\) nào trong không gian đó đều có thể được trình bày trong hình thức sau:

Phép chiếu của một vectơ lên không gian con

Giả sử \(S=\{v_1, v_2,\dots,v_m\}\) là họ các vectơ trực giao trong \(V\). Đặt \(W=\mathrm{span}(S)\) là một không gian con của \(V\). Phép chiếu trực giao (được đặt là \(w\)) của bất kỳ vectơ nào \(u\) trong \(V\) lên không gian con \(W\) là một vectơ của \(W\) và \(u-w). \) trực giao với mọi vectơ trong \(W\). Phép chiếu trực giao được tính theo công thức sau:

Dễ dàng chứng minh \(w\in W\). Trường hợp \(u-w\) trực giao với mọi vectơ \(x\) trong \(w\) có thể được suy ra bằng cách chứng minh rằng \(u-w\) trực giao với mọi \(v_i\in S\):

Vì mọi vectơ \(x\) trong \(W\) được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong họ \(S\) và \(u-w\) trực giao với tất cả các vectơ trong họ \(S\) nên suy ra rằng \(u-w\) trực giao với bất kỳ vectơ nào \(x\).

Gram Schmidt. tiến trình

Cho một không gian vectơ \(V\) với cơ sở \(S=\{v_1, v_2,\dots,v_n\}\). Phương thức biến đổi \(S\) thành một họ trực giao \(S’=\{u_1, u_2,\dots,u_n\}\) sao cho \(\mathrm{span}(S’) = V\) được gọi là trực giao . Một trong những phương pháp này là quy trình Gram-Schmidt:

\[u_1 = v_1,\ \eta_1 = \frac{u_1}{|u_1|}\]
\[u_2 = v_2 – w_2,\ \eta_2 = \frac{u_2}{|u_2|}\]
\[\vdots\]
\[u_n = v_n – w_n,\ \eta_n = \frac{u_n}{|u_n|}\]

Trong đó \(w_i\) là vectơ chiếu của \(v_i\) lên không gian được tạo bởi họ trực chuẩn \(\{\eta_1, \dots, \eta\_{i-1}\}\), đó là tính toán như mô tả ở trên.

Ở cuối bước \(n\), chúng ta có \(\{\eta_1, \dots, \eta\_{i-1}\}\) mà chúng đã được chuẩn hóa từ cơ sở \(S\).

tọa độ

Giả sử \(S=\{v_1, v_2,\dots,v_n\}\) là họ các vectơ độc lập tuyến tính sinh ra \(V\). Như đã đề cập ở trên, mọi vectơ \(u\in V\) được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong cơ sở:

Vectơ \((u)_S = (c_1,c_2,\dots,c_n)\) được gọi là vectơ tọa độ của \(u\) đối với cơ sở \(S\) (vectơ tọa độ của \(u\) ) đối với \(S\)). ma trận

được gọi là ma trận tọa độ của \(u\) đối với cơ sở \(S\) (ma trận tọa độ của \(u\) đối với \(S\)).

Ví dụ

Giải pháp khá đơn giản: Đầu tiên chúng ta tìm cách biểu diễn \(v_1\) và \(v_2\) trước, sau đó thay thế biểu thức \(u\).

Ma trận \(P\) được gọi là ma trận đổi cơ số từ cơ số \(S\) sang \(S’\). Ma trận này được tính như sau:

Dựng các vectơ cơ sở \(S\) và \(S’\) thành các cột, lần lượt tạo ra hai ma trận \(A\) và \(B\).
Tính \(P = B^{-1}A\).

Với biểu diễn \([u]_S\), chúng ta có thể tính \([u]_{S’} = P[u]_S\). Ngược lại, biết \([u]_{S’}\), ta tính được \([u]_S = P^{-1}[u]_{S’}\).

Thật vậy, giả sử chúng ta biểu diễn từng vectơ \(v_1, \dots, v_n\) trên cơ sở mới \(S’\) như sau:

Xem thêm

Xét một vectơ \(u\) có tọa độ \([u]_S = (x_1, \dots, x_n)\) và \([u]_{S’} = (y_1, \dots, y_n)\)

\(P\begin{bmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{bmatrix}^T\) tự nó là một vectơ và thực tế là nó có tiền tố là \(B\) (bao gồm các vectơ trong \( S’\ )) tạo ra \(u\) cho thấy rằng \(P\begin{bmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{bmatrix}^T\) là biểu diễn của \(u\) trong cơ sở \ (S’ \).

Lập luận tương tự, trong đó \(P^{-1} = A^{-1}B\) là ma trận chuyển đổi cơ sở từ \(S’\) thành \(S\).

Thiên nhiên

Đó là cách \(P\) được xây dựng thông qua hai cơ sở (độc lập tuyến tính) mà \(\mathrm{det}(P)\neq 0\), tức là \(P\) khả nghịch. Ma trận \(P^{-1}\) được gọi là ma trận biến đổi từ \(S’\) sang \(S\) vì:

Mặt khác, nếu \(S\) và \(S’\) là hai cơ sở trực chuẩn thì \(P\) được gọi là ma trận trực giao với tính chất

Hướng dẫn cúng về nhà mới kèm bài khấn chuẩn phong thủy

Phép chuyển cơ sở – wikipedia tiếng việt